平成23年度・群馬県(数学)高校入試問題 [平成23年度(2011年)・数学]
平成23年度・群馬県(数学)高校入試問題のダウンロードはこちらから
http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/index.html
■■まとめ■■
例年通りの形式です。[4]のグラフをかく問題，[5]の相似を見つける問題がちょっと難しかったかもしれません。差がつく問題になったことでしょう。
■■解説■■
クリックすると大きくなります。参考にしてください。
■■ポイント■■
[1]計算問題
計算問題はぜひ完答してほしい問題である。
[2]小問集合
(1)五角形の内角の和：五角形は三角形が3枚あると考えて，540°
(2)一番上の列と一番左の列を比べて，a－3+4=a+3+b。これよりb=－2
斜めの列と一番上の列を見比べて，4+1－2=4－3+a これよりa=2
(3)2x2y－10xy－12yはまず2yが共通因数だから，=2y(x2－5y－6)=2y(x－6)(x+1)
(4)①yをxの式で表すと，y=ax2となり，(2，6)を代入すると，6=4a。よって，a=3/2。
②2秒後から4秒後まででは，2秒の時は6mの位置に，4秒の時は24mの位置にいるから，18m
(5)この問題は組み合わせの考え方を使う。全部の場合の数は6つの玉から2つの玉をとる
組み合わせなので，(6×5)÷(2×1)=15通り。このうち，色が同じ場合は，
赤2個：(3×2)÷(2×1)=3通り，白2個：(2×1)÷(2×1)=1通りあるから，全部で4通り。
よって異なる場合の確率は，11/15
(6)①中心を求める。
②中心から直線lに向かって垂線を引く。
③中心l上(右側)に新しい円の中心を取る。このような手順で作図する。
[3]連立方程式の問題
(1)ルールに従って，式を作ると，x回勝って，y回負けたので，引き分けは20－x－y回
(2)x回勝って，y回負けて，20－x－y回引き分けたので，2x－y+(20－x－y)=20+x－2y
(3)BはAと逆のことが起こるので，2y－x+(20－x－y)=20+y－2xとなるので，
{ 20+x－2y=17 →これを解くと x=7，y=5
20+y－2x=11
[4]条件のついた関数の問題。サービス券Bの意味をとらえてグラフが書ければよい。
(1)サービス券Bはいつでも15%引いてくれるので，y=85x/100=17x/20
(2)1500円になると300円引いてくれて，3000円になるとさらに300円引いてくれる。
1500≦x<3000のときは，y=x－300…①
3000≦x<4500のときは，y=x－600…②
(3)サービス券A，Bで同額となる場合は，(1)の式と(2)の①や②の式が等しくなる時だから，
x－300=17x/20→x=2000。
x－600=17x/20→x=4000。よって2000円と4000円
[5]平面図形の相似の問題。最後が私立校入試の問題のようである。
(1)△AEHと△BECにおいて，
∠AEH=∠BEC=90°…①
△AEBで∠A=45°，∠AEBは90°だから△AEBは直角二等辺三角形で，AE=BE…②
ここで，△AEHと△BDHは∠Hが対頂角，∠E=∠D=90°で等しいので，
△AEH∽△BDHよって∠EAH=∠EBC…③
①～③より1辺とその両端の角が等しいので，△AEH≡△BEC。
これより対応する辺の長さが等しいのでAH=BC。
(2)(3)AH=4であり，(3)で求めたいHDをxと置く。すると図で●を
含む直角三角形は全て相似になるから，
△BDH∽△BEC∽△AEH∽△ADC
ここで長さを埋めていくと，
△BDHと△ADCで3：x=4+x：1 という式ができる。
これより，x(4+x)=3 → x2+4x－3=0。x=-2+√7
。AD=4+x=2+√7であるから，
△ABCの面積S=4×(2+√7)×1/2=4+2√7
[6]空間図形。相似比と体積比の考え方を使う。すべての辺の長さが等しい四角すいはよく
出てくる。
(1)△ABDを考えると，BD=8√2である45°定規になっているから，高さは4√2
(2)半分の高さまで水が入っている，ということは，水が入っていない部分の小さな四角すい
と全体の四角すいが相似で，相似比が1：2だから，体積比は1：8。
よって全体：下側の体積比は8：7
(3)①図IIのようになったとき，底面となるEBCD：FBCG=8：7となる。よってCD：CG=8：7である
から，CG=7
②二等辺三角形の絵を2つ書く。
図のように△ACDと△AGFを考える。△ACDは正三角形であるから，AG=√57
また，右の図で，AQ=√41
これよりS=8×√41×1/2=4√41
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■■まとめ■■
例年通りの形式です。[4]のグラフをかく問題，[5]の相似を見つける問題がちょっと難しかったかもしれません。差がつく問題になったことでしょう。
■■解説■■
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■■ポイント■■
[1]計算問題
計算問題はぜひ完答してほしい問題である。
[2]小問集合
(1)五角形の内角の和：五角形は三角形が3枚あると考えて，540°
(2)一番上の列と一番左の列を比べて，a－3+4=a+3+b。これよりb=－2
斜めの列と一番上の列を見比べて，4+1－2=4－3+a これよりa=2
(3)2x2y－10xy－12yはまず2yが共通因数だから，=2y(x2－5y－6)=2y(x－6)(x+1)
(4)①yをxの式で表すと，y=ax2となり，(2，6)を代入すると，6=4a。よって，a=3/2。
②2秒後から4秒後まででは，2秒の時は6mの位置に，4秒の時は24mの位置にいるから，18m
(5)この問題は組み合わせの考え方を使う。全部の場合の数は6つの玉から2つの玉をとる
組み合わせなので，(6×5)÷(2×1)=15通り。このうち，色が同じ場合は，
赤2個：(3×2)÷(2×1)=3通り，白2個：(2×1)÷(2×1)=1通りあるから，全部で4通り。
よって異なる場合の確率は，11/15
(6)①中心を求める。
②中心から直線lに向かって垂線を引く。
③中心l上(右側)に新しい円の中心を取る。このような手順で作図する。
[3]連立方程式の問題
(1)ルールに従って，式を作ると，x回勝って，y回負けたので，引き分けは20－x－y回
(2)x回勝って，y回負けて，20－x－y回引き分けたので，2x－y+(20－x－y)=20+x－2y
(3)BはAと逆のことが起こるので，2y－x+(20－x－y)=20+y－2xとなるので，
{ 20+x－2y=17 →これを解くと x=7，y=5
20+y－2x=11
[4]条件のついた関数の問題。サービス券Bの意味をとらえてグラフが書ければよい。
(1)サービス券Bはいつでも15%引いてくれるので，y=85x/100=17x/20
(2)1500円になると300円引いてくれて，3000円になるとさらに300円引いてくれる。
1500≦x<3000のときは，y=x－300…①
3000≦x<4500のときは，y=x－600…②
(3)サービス券A，Bで同額となる場合は，(1)の式と(2)の①や②の式が等しくなる時だから，
x－300=17x/20→x=2000。
x－600=17x/20→x=4000。よって2000円と4000円
[5]平面図形の相似の問題。最後が私立校入試の問題のようである。
(1)△AEHと△BECにおいて，
∠AEH=∠BEC=90°…①
△AEBで∠A=45°，∠AEBは90°だから△AEBは直角二等辺三角形で，AE=BE…②
ここで，△AEHと△BDHは∠Hが対頂角，∠E=∠D=90°で等しいので，
△AEH∽△BDHよって∠EAH=∠EBC…③
①～③より1辺とその両端の角が等しいので，△AEH≡△BEC。
これより対応する辺の長さが等しいのでAH=BC。
(2)(3)AH=4であり，(3)で求めたいHDをxと置く。すると図で●を
含む直角三角形は全て相似になるから，
△BDH∽△BEC∽△AEH∽△ADC
ここで長さを埋めていくと，
△BDHと△ADCで3：x=4+x：1 という式ができる。
これより，x(4+x)=3 → x2+4x－3=0。x=-2+√7
。AD=4+x=2+√7であるから，
△ABCの面積S=4×(2+√7)×1/2=4+2√7
[6]空間図形。相似比と体積比の考え方を使う。すべての辺の長さが等しい四角すいはよく
出てくる。
(1)△ABDを考えると，BD=8√2である45°定規になっているから，高さは4√2
(2)半分の高さまで水が入っている，ということは，水が入っていない部分の小さな四角すい
と全体の四角すいが相似で，相似比が1：2だから，体積比は1：8。
よって全体：下側の体積比は8：7
(3)①図IIのようになったとき，底面となるEBCD：FBCG=8：7となる。よってCD：CG=8：7である
から，CG=7
②二等辺三角形の絵を2つ書く。
図のように△ACDと△AGFを考える。△ACDは正三角形であるから，AG=√57
また，右の図で，AQ=√41
これよりS=8×√41×1/2=4√41
平成24年度のも解説アップしていただけないでしょうか。
by めん (2012-03-14 18:13)
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by Matharymn (2020-03-04 19:48)