平成22年度・岩手県(数学)高校入試問題 [平成22年度(2010年)・数学]
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http://nokai.jp/iwate/test_mondai.htm
■■まとめ■■
標準的な問題ですが，問題量が若干多めなので時間が足りなくなってしまう場合も
あるでしょう。
★つきは１つあります。
●[11]パズル的要素の濃い問題ですが，途中まででできることがなくなります。
そのときにもしもここが0だったら…，と仮定して実際に実験をやっていく，
これが難しいでしょう。時間切れになってしまった人も多いかと思います。
■■ポイント■■
[1]計算問題。間違えたくない問題。
(1)－4－5=－9
(2)分数の問題
(3)平方根の計算問題
(4)x^2－7x+12=0 → 因数分解して，
(x－3)(x－4)=0 → x=3，4
(5)4x+2y=9 → 2y=9－4x → y=(9-4x)/2
[2]図形の基本的知識が問われる問題。
(1)△ADE∽△ACBであり，AD：AE=AC：AB=2：3であるから，AB=3/2AC=9(cm)
(2)外角の和は360°になることを使う。∠xの外角をyとして，
80+75+70+y+60=360を解くとy=75であるから，∠x=105°
(3)求める体積V=3×3×π×5=45π(cm3)
[3]比例の関係を式で表す。
400枚印刷するのに5分かかり，x枚印刷するのにy分かかる。
400：5=x：y → 400y=5x → y=1/80*x
[4]組み合わせの考え方を使う。
(1)5つの班から2つの班を選ぶ選び方は，(5×4)/(2×1)=10通り
(2)1班が選ばれる確率は，(1)の全10通りに対して，
(1班，2班)，(1班，3班)，(1班，4班)，(1班，5班)
の4通りがあるので， 4/10=2/5
[5]聞かれていることは角度に関すること。
(1)△ABCは60度の三角定規の形になっているので，AC=2cm。この段階で△ACDが二等辺
三角形であることに気づく。
(2)まず∠BADが90°だから，∠DAC=30°
△ACDが二等辺三角形だから∠ACD=75°
∠BCF=180－75－30=75°。…①
また，∠AEB=50°だから対頂角で∠CEF=50°…②
①･②より，△CEFの内角の和より，∠CFE=55°
[6]EPが通過した部分を3つの場合に関して図に表せばよい。
(1)AB上を動くときは，図のような状況であり，
三角形の面積となる。y=2×x÷2=x よってy=x
(2)BC上を動くときは，図のような状況であり，
台形の面積となる。
AB+BP=xだからBP=x－6となることに注意
して，
y=(2+x-6)/2*6÷2=3x/2 -2
(3)最後，CD上を動くときは，AB+BC+CP=x
だから，CP=x－10であるが，この場合は
四角形全体から△EDPを引いて面積を求める。
DP=CD－CP=6－(x－10)=16－xだから，
y=6×4-2*(16-x)÷2=8+x
後は変域に注意してグラフ
を書くと，右のようになる。
[7]連立方程式の基本的な問題。
ノート1冊x円，ボールペン1本y円とすると，
x+y=450
0.8x+0.9y=390
ここでは，x=450－yとして，代入法を使うと，
0.8(450－y)+0.9y=390
360+0.1y=390 → y=300，x＝150
よって，ノート1冊150円，ボールペン1本300円
[8]相似の証明なので「2角が等しい…かな?」と考えながら証明を完成させればよい。
(証明)△ABCと△DEBにおいて，
弧BCに対する円周角は等しいので，
∠BAC=∠EDB …①
弧ABに対する円周角は等しいので，
∠ADB=∠ACB …②
平行線の錯角は等しいので，
∠ADB=∠DBE …③
②・③より，∠ACB=∠DBE …④
①・④より，2角がそれぞれ等しいので，
△ABC∽△DEB (証明終)
[9]2次関数の問題。数字を元に，具体的にどんどん計算をして行こう。
(1)Aのy座標はx座標がわかっているので，y=2x^2に代入して，y=2×2^2=8
(2)Cはx座標が2なのでy座標はy=ax^2に代入して，
y=4aと表される。
△OAC=(8－4a)×2÷2=8－4a，△OBE=8×2÷2=8 より，
8－4a：8=2：3 → 16=24－12a → a=2/3 でy座標が8を代入すると，
x2=12 → x=±2√3 より，Dのx座標は -2√3
[10]展開図は慣れてないと難しいか。
(1)図のように記号を振りながら行う。
(例)辺ABを持つ三角形は△ABCで…，今度は辺ACを持つ三角形は△ACDで…，と順番に
埋めていけば自然と埋まっていく。
(2)△正四角すいが2つ重なった形を考える。
△ABDを抜き出すとBD=2√2，(高さ)=√2であるから，(正四角すい)=2×2×√2×1/3=4√2/3
よって(正八面体)=8√2/3
[11]少しずつ丁寧にやっていこう。試験中では時間切れになってしまうのではなかろうか。
(1)5行目までは問題文に書いてあるので，
5行目 1 0 2 0 1
6行目 1 1 2 2 1 1
7行目 1 2 3 0 3 2 1
8行目 1 3 1 3 3 1 3 1 となる。
(2)これは，1つ1つ丁寧にやっていく。
0 [ア] [イ] [ウ] [エ] [オ] 0
0 [カ] [キ] [ク] [ケ] [コ] 2
3 [サ] [シ] [ス] [セ] [ソ] 0
3 [タ] 2 1 [チ] 0
よく見る。まず[オ]=2。[ソ]=0から，[コ]=2→[エ]=0
[カ]=3から，[ア]=3。[サ]=0から，[キ]=1→[イ]=2。
ここまで来ると，手詰まりになる。
そこで[ウ][ク][ケ][シ][ス][セ]の部分から下の2，1の部分までは，[ウ]=0のとき，1のとき，2のとき…などと順番にやっていくとうまくいかない。[ウ]=3のときぴったりうまくいくことがわかる。よって，
[ア][イ][ウ][エ][オ]=3 2 3 0 2
http://nokai.jp/iwate/test_mondai.htm
■■まとめ■■
標準的な問題ですが，問題量が若干多めなので時間が足りなくなってしまう場合も
あるでしょう。
★つきは１つあります。
●[11]パズル的要素の濃い問題ですが，途中まででできることがなくなります。
そのときにもしもここが0だったら…，と仮定して実際に実験をやっていく，
これが難しいでしょう。時間切れになってしまった人も多いかと思います。
■■ポイント■■
[1]計算問題。間違えたくない問題。
(1)－4－5=－9
(2)分数の問題
(3)平方根の計算問題
(4)x^2－7x+12=0 → 因数分解して，
(x－3)(x－4)=0 → x=3，4
(5)4x+2y=9 → 2y=9－4x → y=(9-4x)/2
[2]図形の基本的知識が問われる問題。
(1)△ADE∽△ACBであり，AD：AE=AC：AB=2：3であるから，AB=3/2AC=9(cm)
(2)外角の和は360°になることを使う。∠xの外角をyとして，
80+75+70+y+60=360を解くとy=75であるから，∠x=105°
(3)求める体積V=3×3×π×5=45π(cm3)
[3]比例の関係を式で表す。
400枚印刷するのに5分かかり，x枚印刷するのにy分かかる。
400：5=x：y → 400y=5x → y=1/80*x
[4]組み合わせの考え方を使う。
(1)5つの班から2つの班を選ぶ選び方は，(5×4)/(2×1)=10通り
(2)1班が選ばれる確率は，(1)の全10通りに対して，
(1班，2班)，(1班，3班)，(1班，4班)，(1班，5班)
の4通りがあるので， 4/10=2/5
[5]聞かれていることは角度に関すること。
(1)△ABCは60度の三角定規の形になっているので，AC=2cm。この段階で△ACDが二等辺
三角形であることに気づく。
(2)まず∠BADが90°だから，∠DAC=30°
△ACDが二等辺三角形だから∠ACD=75°
∠BCF=180－75－30=75°。…①
また，∠AEB=50°だから対頂角で∠CEF=50°…②
①･②より，△CEFの内角の和より，∠CFE=55°
[6]EPが通過した部分を3つの場合に関して図に表せばよい。
(1)AB上を動くときは，図のような状況であり，
三角形の面積となる。y=2×x÷2=x よってy=x
(2)BC上を動くときは，図のような状況であり，
台形の面積となる。
AB+BP=xだからBP=x－6となることに注意
して，
y=(2+x-6)/2*6÷2=3x/2 -2
(3)最後，CD上を動くときは，AB+BC+CP=x
だから，CP=x－10であるが，この場合は
四角形全体から△EDPを引いて面積を求める。
DP=CD－CP=6－(x－10)=16－xだから，
y=6×4-2*(16-x)÷2=8+x
後は変域に注意してグラフ
を書くと，右のようになる。
[7]連立方程式の基本的な問題。
ノート1冊x円，ボールペン1本y円とすると，
x+y=450
0.8x+0.9y=390
ここでは，x=450－yとして，代入法を使うと，
0.8(450－y)+0.9y=390
360+0.1y=390 → y=300，x＝150
よって，ノート1冊150円，ボールペン1本300円
[8]相似の証明なので「2角が等しい…かな?」と考えながら証明を完成させればよい。
(証明)△ABCと△DEBにおいて，
弧BCに対する円周角は等しいので，
∠BAC=∠EDB …①
弧ABに対する円周角は等しいので，
∠ADB=∠ACB …②
平行線の錯角は等しいので，
∠ADB=∠DBE …③
②・③より，∠ACB=∠DBE …④
①・④より，2角がそれぞれ等しいので，
△ABC∽△DEB (証明終)
[9]2次関数の問題。数字を元に，具体的にどんどん計算をして行こう。
(1)Aのy座標はx座標がわかっているので，y=2x^2に代入して，y=2×2^2=8
(2)Cはx座標が2なのでy座標はy=ax^2に代入して，
y=4aと表される。
△OAC=(8－4a)×2÷2=8－4a，△OBE=8×2÷2=8 より，
8－4a：8=2：3 → 16=24－12a → a=2/3 でy座標が8を代入すると，
x2=12 → x=±2√3 より，Dのx座標は -2√3
[10]展開図は慣れてないと難しいか。
(1)図のように記号を振りながら行う。
(例)辺ABを持つ三角形は△ABCで…，今度は辺ACを持つ三角形は△ACDで…，と順番に
埋めていけば自然と埋まっていく。
(2)△正四角すいが2つ重なった形を考える。
△ABDを抜き出すとBD=2√2，(高さ)=√2であるから，(正四角すい)=2×2×√2×1/3=4√2/3
よって(正八面体)=8√2/3
[11]少しずつ丁寧にやっていこう。試験中では時間切れになってしまうのではなかろうか。
(1)5行目までは問題文に書いてあるので，
5行目 1 0 2 0 1
6行目 1 1 2 2 1 1
7行目 1 2 3 0 3 2 1
8行目 1 3 1 3 3 1 3 1 となる。
(2)これは，1つ1つ丁寧にやっていく。
0 [ア] [イ] [ウ] [エ] [オ] 0
0 [カ] [キ] [ク] [ケ] [コ] 2
3 [サ] [シ] [ス] [セ] [ソ] 0
3 [タ] 2 1 [チ] 0
よく見る。まず[オ]=2。[ソ]=0から，[コ]=2→[エ]=0
[カ]=3から，[ア]=3。[サ]=0から，[キ]=1→[イ]=2。
ここまで来ると，手詰まりになる。
そこで[ウ][ク][ケ][シ][ス][セ]の部分から下の2，1の部分までは，[ウ]=0のとき，1のとき，2のとき…などと順番にやっていくとうまくいかない。[ウ]=3のときぴったりうまくいくことがわかる。よって，
[ア][イ][ウ][エ][オ]=3 2 3 0 2
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by MatPHOWLY (2019-06-06 22:13)