平成22年度・北海道・学校裁量(数学)高校入試問題

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http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/gakuryoku.html

■■まとめ■■
最後の[6]が学校裁量の問題です。(3)は今まで，類題を経験したかどうかがカギになります。

■■ポイント■■
[1]→共通問題[2]と同じ。
[2]→共通問題[3]と同じ。
[3]→共通問題[4]と同じ。
[4]→共通問題[5]と同じ。
[5]→共通問題[6]と同じ。

[6]ここが応用問題になっている。
問1　式を作って因数分解して考える問題である。三平方の定理より，
　a^2=b^2=(2√15)^2 であるからこれを式変形すると，
　a^2－b^2=60　→　(a+b)(a－b)=60。　つまり掛け算して60。
　あとは，これをシラミツブシに探していく。
　①a+b=60，a-b=1のとき， →2a=61でaが自然数にならない。
　②a+b=30，a-b=2のとき，これを解くと，(a，b)=(16，14)
　③a+b=20，a-b=3のとき， →2a=23でaが自然数にならない。
　④a+b=15，a-b=4のとき， →2a=19でaが自然数にならない。
　⑤a+b=12，a-b=5のとき， →2a=17でaが自然数にならない。
　⑥a+b=10，a-b=6のとき，これを解くと，(a，b)=(8，2)

問2　とりあえず全部で24通りしかないので，丁寧にやっていけば答えにたどり着く。
　長さが√5になる，ということは，x座標・y座標の差が1と2のときだけである。
　P=1のとき，(1，3)，(b，1)であるから，Q=0，2　(y座標の差が2だから，x座標の差が1を探す)
　P=2のとき，(2，3)，(b，2)であるから，Q=0，4　(y座標の差が1だから，x座標の差が2を探す)
　P=3のとき，(3，3)，(b，3)で，このときは該当なし。
　P=4のとき，(4，3)，(b，4)であるから，Q=2，6　(y座標の差が1だから，x座標の差が2を探す)
　P=5のとき，(5，3)，(b，5)であるから，Q=4，6　(y座標の差が2だから，x座標の差が1を探す)
　P=6のとき，(6，3)，(b，6)で，このときは該当なし。
　以上より，8通りなので，確率は1/3

問3　どの点が中心であるかを見抜けばよい。
(1)操作1ではFが中心となって90度回り，操作2ではEが中心となって90度回る。
　Fが中心となる場合は半径が4，Eが中心となる場合は半径が4√2である。

(2)操作 1：MとDは図のような線を描く。線分MDはまるで
　屋根瓦のような形になる。MDの動く面積は，
　(MDの長さ)×(弧CC'の長さ)であり，弧CC'の長さは
　FC=4√2であることに注意して，
　2×4√2×2×π×1/4=4√2π
　操作 2 ：MDが回転してできる部分は，下の図のとおり
　であるが，これは，ドーナツ型の図のように4等分した
　うちの1つになっている。
　ドーナツ型の面積は(2√5)^2π-4^2π=4πであり，
　その4等分したものはπ。
　よって線分MDが動いた部分の合計は，4√2π+π

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