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平成22年度・北海道(数学)高校入試問題 [平成22年度(2010年)・数学]

平成22年度・北海道(数学)高校入試問題のダウンロードはこちらから
http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/gakuryoku.html

■■まとめ■■
標準的な問題です。問題の難易がはっきりしています。
解ける問題から考えていきましょう。
★★つき問題は1つ。
●[4]問3.四角形の面積を求めるときの工夫の仕方を考えます。関数で面積を求める場合は,
 軸に平行な方向の長さを考えることが大変多いです。

■■ポイント■■
[1]計算問題。難しいことはない。
問1(1)正負の計算。
 (2)分数の計算。
 (3)平方根の計算。この3問は取り立てて問題ない。
問2 式の値を求める問題は,まずは式変形してからその後代入をする。
 -3xy^2にxとyを代入する。
問3 連立方程式。代入法でも加減法でもよい。
問4 yはxに反比例するからxy=aの形を使う。今回はx=3,y=-4を代入すると,
 xy=-12で,比例定数は-12より。y=2を代入すると,x=-6
問5 斜めになっている平行四辺形だが,結局回転させるとへこんだ部分にとがった部分
 がぴったりと入り込むことになるので,円柱の体積と同じになる。

[2]小問集合
問1 4本⇒AC,BDとAD中点・BC中点を通る線 と AB中点・DC中点を通る線
問2 樹形図を描く(全通り書いてみる)。数え漏れをなくすため,なるべく大きい順とか小さい順と
 か,順番をつけて書く。
 (50円,20円,10円)の順で小さい順に書く。
 ①50円が0のとき,
  (0-0-8),(0-1-6),(0-2-4),(0-3-2),(0-4-1)
 ②50円が1のとき,
  (1-0-3),(1-1-1)
 このように全部で7通りある。よって見つけたもの以外に5通りある。

[3]方程式を作る問題
問1 問題文にこっそりと消しゴム1個がノートよりも40円安いことが書いてあるので,
 5x+3(x-40)+980=2140  【方程式】
 8x-120+980=2140 ⇒ 8x=1280 x=160円
 弟から1000円預かったので(ややこしい!!)840円返す
問2.AR,BP,CQ=xとおけば,
 △ABP=x×7÷2,△RQC=x×(7-x)÷2
 この和が全体の4/7になる。
 x×7÷2+x×(7-x)÷2 = 6×7÷2×4/7
 7x+(7x-x^2)=24 → x^2-14x+24=0
 →(x-2)(x-12)=0 であるから,x=2(cm)

[4]2次関数の問題。
問1  Aの座標は(-1,-1)となるので,
 傾き2である直線はy=2(x+1)-1より,y=2x+1
問2 変域を考えると,x=-2のときy=8となるので,これをy=ax2に代入して,8=4a → a=2
10hokkaido_suu01.JPG
★問3 この問題は右のような図になっている。
 四角形の面積を求めるときは,BDで2つに分
 けると求めやすい。
 A(-2,-4),B(2,-4),C(2,4a),
 D(-3,9a)であるから,
 △ABDは底辺AB(=4)とすると
 高さは9a-(-4)=9a+4。
 △CBDは底辺BC(=4a-(-4)=4a+4)とすると,高さは5より,
  (四角形ABCD)=4×(9a+4)÷2+(4a+4)×5÷2 =25
  (36a+16)+(20a+20)=50 → a=1/4

[5]図形の作図に関する問題
問1 右上方向,左上方向,下方向に平行四辺形が伸びる。
問2 二等辺三角形において,頂角の二等分線は底辺を垂直二等分する,という知識を使う。
 (証明)まずは△APB≡△AQBを示す。
  AP=AQ(円Aの半径),BP=BQ(円Bの半径)であり,辺ABは共通。
  よって,3辺がそれぞれ等しいので,△APB≡△AQBである。
  これより,∠PAB=∠QABがいえる。…①
  すると,二等辺三角形APQにおいて①が成立するので直線ABは角の二等分線になっている。
  つまりこの線は底辺を垂直に二等分する直線である。

[6]図形に関する問題の集合。
問1 111°という中途半端な角度は何であるかを考えると,まず∠C=72°であり,∠Aの78を2で割る
 と39°。つまり,∠Aの半分と∠Cを加えると111°となるので,∠Aの二等分線を引き,∠Cと加え
 る外角を考えればよい。
問2 CEとPDの交点をRとすると,△PBD∽△RCDより,PBの長さの半分がCRになるから,CR=3。
 △APQ∽△CRQで,相似比はAP:CR=2:3よって,AQ:QC=2:3からQCを求める。
問3 点PはOC上にあるので,面OACを取り出して考える。
 あとは,△OMCの面積を2通りで表す,という方法で考えるか,
 相似な三角形を使って求めてもよい。

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