平成22年度・秋田県(数学)高校入試問題 [平成22年度(2010年)・数学]
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http://www.pref.akita.lg.jp/icity/browser?ActionCode=genlist&GenreID=1137480909413
■■まとめ■■
かなり難しい問題です。しっかりと勉強しておかないと得点奪取は難しいでしょう。
問題量も多いので，計算力も問われます。
★★つきは1つ用意しました。
[5]は折り曲げに関する問題で，三平方の定理を多用します。
この3つの問題を解けるようになれば，色々なパターンの折り曲げに関する問題に対応できるようになりますので，3問ともぜひ見ておきましょう。
■■ポイント■■
[1]高校によって採択する問題が異なる。
(1)①積が最も大きいのは2と4のペア。②積が最も小さいのは－3と4のペア
(2)イはアの5/2倍であるから，①15 ②5a/2
(3)(4)は計算問題。
(5)3m=2a+bだから，b=3m－2a
(6)下式より，y=9+3xを上式に代入して，
x+2(3x+9)=4 → 7x=－14 → x=－2
これを下式に代入してy=3。(x，y)=(－2，3)
(7)(x+4)(x－4)=3x－6
x^2－16－3x+6=0 → x^2－3x－10=0
→ (x－5)(x+2)=0 → x=5，－2
(8) a=5b+rである。よって，r=a－5b
(9)方程式の持つ意味である。毎分160mで走った距離を表す。
(10)A=10x+yとすると，B=10y+xとなる。
A+B=11x+11y=11(x+y)
A－B=9x－9y=9(x－y) となる。
よって，x+yが11であり，x－yが平方数になっていなければならない。このとき，x=6，y=5のとき
である。よって，A=65
(11)∠ABC=70°であり，△ABCは二等辺三角形なので，∠A=40°。弧BCに対する円周角は等しいの
で，∠x＝40°
(12)中点連結定理を何回か使う。GE=3→FC=6。
DH：HC=DG：FC=1：3よりDG=2。よって，再び中点連結定理より，BC=4(cm)
(13)AB//CDで錯角の関係より，∠BEC=∠ECDから，△BECは二等辺三角形である。
よって∠ECB=52°で∠B=180－52×2=76°。よって∠x=76°
(14)底面積は正方形の半分の面積である。
よって，V=6×6÷2×6÷3=36(cm3)
(15)PとQでは，
①下の底面積は同じ。
②上の底面積は半径3cmの円と，回転軸から3cm離れたドーナツ型の部分はやはり同じ。
③立体Pで，上の部分の側面積は6π×3=18π
立体Pで，下の部分の側面積は12π×3=36π
立体Qで，内側部分の側面積は6π×3=18π
立体Qで，外側部分の側面積は，12π×6=72π。
立体Qの方は36πだけ大きい。
[2]関数・グラフの見方・考え方に関する問い。
(1)[a]ウ[b]ア[c]エ。会話を読んで判断する。[d]大きく
会話の内容が理解できただろうか。
(2)[ア]12分後。これはグラフを見て考える。
[イ][ウ]美咲さんは高さ6cmでグラフの傾きがかわり，健司さんは8cmでグラフの傾きがかわった
ので，a=6cm，b=8cm
[エ]上記より，8cmのところから高さが等しくなる。
[オ]水面が等しくなってからは，同じ関数の式で表される。傾き1/2で，(4，6)を通るので，
y=1/2x+4
(3)この場合は(2)のグラフから(12，10)で終わるような比例のグラフを書けばよい。
y=5x/6のグラフを書く。（グラフ略）
[3]円と証明や作図に関する問題
(1)√2と言う数字を見たときに何を思い浮かべるかである。これは45°定規の斜辺を考えたら
よいだろう。
①数直線1から垂線を立てる。
②その垂線上に「1」の長さを取る。
③対角線は であるから，その長さを数直線上にとる，という3段階の作図をすればよい。
(2)弦の長さが等しければ，弧の長さも等しくなるという知識を問う問題である。
△APBと△AQBにおいて，
AP=AQ(仮定) AB=AB(共通)
∠APB=∠AQB=90°（半円の弧に対する円周角）
よって直角三角形で斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので，△APB≡△AQB。
対応する核の大きさが等しいので∠PAB=∠QAB。
これは線分ABが∠PAQを二等分していることを表している。
[4]2次関数と確率の問題
(1)①関数の変域の問題は必ずグラフを書きながら行う。今回は原点を通過するので，
x=－1のときは考えなくてよい。x=3のときy=18であるから，0≦y≦18
②Cのx座標をtとすると，C(t,1/2t^2) ，A(t，2t^2)となるので，Aのy座標は4倍である。
③BCの長さは2t，ACの長さは3t^2/2であるから，2BC=AC → 4t=3t^2/2。これを解くとt=8/3と
なるので，Bのx座標は-8/3
(2)①2枚のカードを同時に取り出すので，組合せの考え方を使う。全部の場合の数は6通り。
そのうち，12以下になるのは，(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，6)の4通りあるので，2/3
②3枚取り出したとき12以下となる場合が2通りしかない場合は次のように考える。
[1]まずxを使わない 1+3+6=10で一通りは必ずこれになる。
[2]xを使う 1+3+x=4+xが12以下でなくてはならず，
1+6+x=7+xは12より大きくなければならない。
これを考えると，x=8，7のみである。
[5]選択問題：学校によって採択が異なりますが，全て折り曲げの問題です。
[Ⅰ](1)①∠EDC=60°
②Dから垂線を下ろせば，△DECと同じ形の図形が現れることがわかる。よって△DCEの4倍である。
(2)BG=xとすると，AG=x，GC=6√3-xであるから，
△BGCで三平方の定理より，x^2=(6√3-x)^2+6^2 x=4√3
[Ⅱ](1)折り曲げた図形があるので，同じ角度の部分がたくさんできる。
四角形DGECは台形であるから，
∠DGE+∠GEC=180°。∠DGF=38°，∠FGE=90°であるから，∠GEC=52°
よって∠GEFはその半分であるから，26°
(2)JIB=60°，∠JIC=120°であるから，∠JIH=∠HIC=60°となる。
錯角から∠IJH=60°で△JIHは正三角形になる。JからBCに垂線を下ろすと，
JI=6√3であることがわかる。△JHKも30°の三角定規の形であるから，KH=3√3
(3)まず，△ANMはAN=AMの二等辺三角形である。
①∠ANM=∠CNM（折り曲げたから）
②∠CNM=∠NMA（平行線の錯角） であるので
∠ANM=∠NMAで二等辺三角形である。
この三角形の面積はAMを底辺として高さをCDとする。
AN=xとすると，NC=x，BN=12－xであるから，△ABNで三平方の定理より，
6^2+(12－x)^2=^x2 → 36+144－24x=0
よって△AMN=15/2×6÷2=45/2(cm2)
[Ⅲ](1)この図ではNCのちょうど2倍がECになっているので，△ENCが30°の三角定規の形になっている。
よって∠ECD=30°，∠ECF=15°であるから，△FECの内角の和を考えて，∠EFC=75°
(2)AB=9，AG=4から，
DG=JG=5。△AJGで
3：4：5の三角形となる。
また，図のように等しい角度
を○とすると，△JBKも△KIH
も3：4：5の三角形になる。
JB=6から，JK=6×5/4=15/2。
KI=9-15/2=3/2で，IH=HC=3/2×4/3=2。
求める四角形GJIHの面積は四角形GDCHと等しいので，
(5+2)×9÷2=63/2
(3)図のようにCQを結ぶと
CP=CB（正方形の1辺）
CQは共通
∠CBQ=∠CPQ=90°
であるから，斜辺と他の1角が
それぞれ等しいので
△CBQ≡△CPQとなる。
AL=3，LD=2とすると，LP=2。QB=xとすると，AQ=5－xで，PQ=xより，
△ALQで三平方の定理より，
(5－x)^2+3^2=(2+x)^2 → 25－10x+x^2+9=4+4x+x^2
x=15/7→ より，AQ=20/7 。よって，AQはQBの4/3倍
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■■まとめ■■
かなり難しい問題です。しっかりと勉強しておかないと得点奪取は難しいでしょう。
問題量も多いので，計算力も問われます。
★★つきは1つ用意しました。
[5]は折り曲げに関する問題で，三平方の定理を多用します。
この3つの問題を解けるようになれば，色々なパターンの折り曲げに関する問題に対応できるようになりますので，3問ともぜひ見ておきましょう。
■■ポイント■■
[1]高校によって採択する問題が異なる。
(1)①積が最も大きいのは2と4のペア。②積が最も小さいのは－3と4のペア
(2)イはアの5/2倍であるから，①15 ②5a/2
(3)(4)は計算問題。
(5)3m=2a+bだから，b=3m－2a
(6)下式より，y=9+3xを上式に代入して，
x+2(3x+9)=4 → 7x=－14 → x=－2
これを下式に代入してy=3。(x，y)=(－2，3)
(7)(x+4)(x－4)=3x－6
x^2－16－3x+6=0 → x^2－3x－10=0
→ (x－5)(x+2)=0 → x=5，－2
(8) a=5b+rである。よって，r=a－5b
(9)方程式の持つ意味である。毎分160mで走った距離を表す。
(10)A=10x+yとすると，B=10y+xとなる。
A+B=11x+11y=11(x+y)
A－B=9x－9y=9(x－y) となる。
よって，x+yが11であり，x－yが平方数になっていなければならない。このとき，x=6，y=5のとき
である。よって，A=65
(11)∠ABC=70°であり，△ABCは二等辺三角形なので，∠A=40°。弧BCに対する円周角は等しいの
で，∠x＝40°
(12)中点連結定理を何回か使う。GE=3→FC=6。
DH：HC=DG：FC=1：3よりDG=2。よって，再び中点連結定理より，BC=4(cm)
(13)AB//CDで錯角の関係より，∠BEC=∠ECDから，△BECは二等辺三角形である。
よって∠ECB=52°で∠B=180－52×2=76°。よって∠x=76°
(14)底面積は正方形の半分の面積である。
よって，V=6×6÷2×6÷3=36(cm3)
(15)PとQでは，
①下の底面積は同じ。
②上の底面積は半径3cmの円と，回転軸から3cm離れたドーナツ型の部分はやはり同じ。
③立体Pで，上の部分の側面積は6π×3=18π
立体Pで，下の部分の側面積は12π×3=36π
立体Qで，内側部分の側面積は6π×3=18π
立体Qで，外側部分の側面積は，12π×6=72π。
立体Qの方は36πだけ大きい。
[2]関数・グラフの見方・考え方に関する問い。
(1)[a]ウ[b]ア[c]エ。会話を読んで判断する。[d]大きく
会話の内容が理解できただろうか。
(2)[ア]12分後。これはグラフを見て考える。
[イ][ウ]美咲さんは高さ6cmでグラフの傾きがかわり，健司さんは8cmでグラフの傾きがかわった
ので，a=6cm，b=8cm
[エ]上記より，8cmのところから高さが等しくなる。
[オ]水面が等しくなってからは，同じ関数の式で表される。傾き1/2で，(4，6)を通るので，
y=1/2x+4
(3)この場合は(2)のグラフから(12，10)で終わるような比例のグラフを書けばよい。
y=5x/6のグラフを書く。（グラフ略）
[3]円と証明や作図に関する問題
(1)√2と言う数字を見たときに何を思い浮かべるかである。これは45°定規の斜辺を考えたら
よいだろう。
①数直線1から垂線を立てる。
②その垂線上に「1」の長さを取る。
③対角線は であるから，その長さを数直線上にとる，という3段階の作図をすればよい。
(2)弦の長さが等しければ，弧の長さも等しくなるという知識を問う問題である。
△APBと△AQBにおいて，
AP=AQ(仮定) AB=AB(共通)
∠APB=∠AQB=90°（半円の弧に対する円周角）
よって直角三角形で斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので，△APB≡△AQB。
対応する核の大きさが等しいので∠PAB=∠QAB。
これは線分ABが∠PAQを二等分していることを表している。
[4]2次関数と確率の問題
(1)①関数の変域の問題は必ずグラフを書きながら行う。今回は原点を通過するので，
x=－1のときは考えなくてよい。x=3のときy=18であるから，0≦y≦18
②Cのx座標をtとすると，C(t,1/2t^2) ，A(t，2t^2)となるので，Aのy座標は4倍である。
③BCの長さは2t，ACの長さは3t^2/2であるから，2BC=AC → 4t=3t^2/2。これを解くとt=8/3と
なるので，Bのx座標は-8/3
(2)①2枚のカードを同時に取り出すので，組合せの考え方を使う。全部の場合の数は6通り。
そのうち，12以下になるのは，(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，6)の4通りあるので，2/3
②3枚取り出したとき12以下となる場合が2通りしかない場合は次のように考える。
[1]まずxを使わない 1+3+6=10で一通りは必ずこれになる。
[2]xを使う 1+3+x=4+xが12以下でなくてはならず，
1+6+x=7+xは12より大きくなければならない。
これを考えると，x=8，7のみである。
[5]選択問題：学校によって採択が異なりますが，全て折り曲げの問題です。
[Ⅰ](1)①∠EDC=60°
②Dから垂線を下ろせば，△DECと同じ形の図形が現れることがわかる。よって△DCEの4倍である。
(2)BG=xとすると，AG=x，GC=6√3-xであるから，
△BGCで三平方の定理より，x^2=(6√3-x)^2+6^2 x=4√3
[Ⅱ](1)折り曲げた図形があるので，同じ角度の部分がたくさんできる。
四角形DGECは台形であるから，
∠DGE+∠GEC=180°。∠DGF=38°，∠FGE=90°であるから，∠GEC=52°
よって∠GEFはその半分であるから，26°
(2)JIB=60°，∠JIC=120°であるから，∠JIH=∠HIC=60°となる。
錯角から∠IJH=60°で△JIHは正三角形になる。JからBCに垂線を下ろすと，
JI=6√3であることがわかる。△JHKも30°の三角定規の形であるから，KH=3√3
(3)まず，△ANMはAN=AMの二等辺三角形である。
①∠ANM=∠CNM（折り曲げたから）
②∠CNM=∠NMA（平行線の錯角） であるので
∠ANM=∠NMAで二等辺三角形である。
この三角形の面積はAMを底辺として高さをCDとする。
AN=xとすると，NC=x，BN=12－xであるから，△ABNで三平方の定理より，
6^2+(12－x)^2=^x2 → 36+144－24x=0
よって△AMN=15/2×6÷2=45/2(cm2)
[Ⅲ](1)この図ではNCのちょうど2倍がECになっているので，△ENCが30°の三角定規の形になっている。
よって∠ECD=30°，∠ECF=15°であるから，△FECの内角の和を考えて，∠EFC=75°
(2)AB=9，AG=4から，
DG=JG=5。△AJGで
3：4：5の三角形となる。
また，図のように等しい角度
を○とすると，△JBKも△KIH
も3：4：5の三角形になる。
JB=6から，JK=6×5/4=15/2。
KI=9-15/2=3/2で，IH=HC=3/2×4/3=2。
求める四角形GJIHの面積は四角形GDCHと等しいので，
(5+2)×9÷2=63/2
(3)図のようにCQを結ぶと
CP=CB（正方形の1辺）
CQは共通
∠CBQ=∠CPQ=90°
であるから，斜辺と他の1角が
それぞれ等しいので
△CBQ≡△CPQとなる。
AL=3，LD=2とすると，LP=2。QB=xとすると，AQ=5－xで，PQ=xより，
△ALQで三平方の定理より，
(5－x)^2+3^2=(2+x)^2 → 25－10x+x^2+9=4+4x+x^2
x=15/7→ より，AQ=20/7 。よって，AQはQBの4/3倍
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