平成23年度・愛知県B(数学)高校入試問題 [平成23年度(2011年)・数学]
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■■まとめ■■
図形の問題で考えさせるものが入っているのは例年通りです。相似，相似比と体積比に関する問題も出題されています。また，A問題と似ている問題（グラフの交点を求める）がありました。図形の最後は考えにくい問題も含まれていたと思います。
■■解説■■
クリックすると大きくなります。参考にしてください。
■■ポイント■■
[1]小問集合。
[1]小問集合。
(1)～(4) 計算問題
(5)(x+4y)(x－4y)+6xy=x2+6xy－16y2=(x+8y)(x－2y)
(6)x2－7x+8=0 これは因数分解できそうに見えるができないので，解の公式で解く。
(7)y=ax2でxがpからqまで変化するときの変化の割合は，a(p+q)で表せる。
[2]小問集合。
(1)Aさんの所持金をa，Bさんの所持金をbとして，連立方程式を作る。
よってAさんは3200円持っていた。
(2)半径が1/3 倍だから面積は1/9 倍。高さは5倍で，5/9倍
(3)①B(2，2)をy=ax2に代入すればいいので，2=4a。a=1/2
②△AOCの面積が△AOBの面積の2倍になるとき，OB=BCであるから，C(4，4)。
A(－4，8)より，直線ACの式を求める。
(4)まず，△AED≡△CBEを証明する。
AD=CB，ED=FBであるから，もう1辺か間の角が等しければ証明できる，と考えると，
今回はAD//CBだから，I錯角が等しいので，
II∠ADE=∠CBF。
対応する辺，角が等しいのでAE=CFとIII∠AED＝∠CFB→錯覚が等しいのでAE//CF。
よって，1組の向かいあう辺が平行で長さが等しいので，四角形AECFは平行四辺形である。
(5)1，2，3a，3bと4つの球に区別をつける。すると全部の並び方は4×3×2=24通り。
1番目に1，2番目に2，3番目に3a，3bが来ないのは
2－(3a，3b)－1， 3a－3b－(1，2)， 3a－1－2 3b－3a－(1，2)， 3b－1－2 ，
の8通り。
(6)①グラフを書くと図のようになる。給水管は1.5m3ずつ入り，排水管は1.0m3ずつ出るので，
両方あいているときは，0.5m3ずつ増えていくことになる。
②Aの後半のグラフとBのグラフの交点を求めればよい。Aの後半のグラフの傾きは0.5である
ことに注意して，
｛y=0.5(x-4)+8 →これを解いて，x=6
y=1.5x
[3]図形に関する問題。
(1)二等辺三角形ABCの底角の大きさがわかればよい。△OBCの中心角は180－52×2=76°。だから，円周
角は38°。そして△ABCの底角はそれぞれ71°とわかるので，71－52=19°
(2)底面は図のとおりである。図のように長さが埋まるので，QBの長さは (60°定規)。
QB：BE=3：1よりPQ：DC=4：1となるからPQ=4m
②△QBCと△QEFの相似比は3：4だから，面積比は9：16→台形BEFC=7 の面積となる。
よって3×3√3×1/2×7/9=7√3/2 (m2)
(3)図のようにAFとDCを延長させて交点をPとする。
AB=4，BF=3だから，AF=5となり，3：4：5の直角三角形ができる。
△FCPも3：4：5だからCP=4/3であるから，AE：DP=AG：PG=3：4+4/3=9：16。
△ADPも3：4：5の三角形だから，AP=4×5/3=20/3。よって，AG=20/3×9/25=12/5
②△ABFを基準とすると，
△GBF=△ABF×GF/AF
△AEF=△ABF×3/4×GF/AFであるから，
△GBFは△AEFの4/3倍である。
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図形の問題で考えさせるものが入っているのは例年通りです。相似，相似比と体積比に関する問題も出題されています。また，A問題と似ている問題（グラフの交点を求める）がありました。図形の最後は考えにくい問題も含まれていたと思います。
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■■ポイント■■
[1]小問集合。
[1]小問集合。
(1)～(4) 計算問題
(5)(x+4y)(x－4y)+6xy=x2+6xy－16y2=(x+8y)(x－2y)
(6)x2－7x+8=0 これは因数分解できそうに見えるができないので，解の公式で解く。
(7)y=ax2でxがpからqまで変化するときの変化の割合は，a(p+q)で表せる。
[2]小問集合。
(1)Aさんの所持金をa，Bさんの所持金をbとして，連立方程式を作る。
よってAさんは3200円持っていた。
(2)半径が1/3 倍だから面積は1/9 倍。高さは5倍で，5/9倍
(3)①B(2，2)をy=ax2に代入すればいいので，2=4a。a=1/2
②△AOCの面積が△AOBの面積の2倍になるとき，OB=BCであるから，C(4，4)。
A(－4，8)より，直線ACの式を求める。
(4)まず，△AED≡△CBEを証明する。
AD=CB，ED=FBであるから，もう1辺か間の角が等しければ証明できる，と考えると，
今回はAD//CBだから，I錯角が等しいので，
II∠ADE=∠CBF。
対応する辺，角が等しいのでAE=CFとIII∠AED＝∠CFB→錯覚が等しいのでAE//CF。
よって，1組の向かいあう辺が平行で長さが等しいので，四角形AECFは平行四辺形である。
(5)1，2，3a，3bと4つの球に区別をつける。すると全部の並び方は4×3×2=24通り。
1番目に1，2番目に2，3番目に3a，3bが来ないのは
2－(3a，3b)－1， 3a－3b－(1，2)， 3a－1－2 3b－3a－(1，2)， 3b－1－2 ，
の8通り。
(6)①グラフを書くと図のようになる。給水管は1.5m3ずつ入り，排水管は1.0m3ずつ出るので，
両方あいているときは，0.5m3ずつ増えていくことになる。
②Aの後半のグラフとBのグラフの交点を求めればよい。Aの後半のグラフの傾きは0.5である
ことに注意して，
｛y=0.5(x-4)+8 →これを解いて，x=6
y=1.5x
[3]図形に関する問題。
(1)二等辺三角形ABCの底角の大きさがわかればよい。△OBCの中心角は180－52×2=76°。だから，円周
角は38°。そして△ABCの底角はそれぞれ71°とわかるので，71－52=19°
(2)底面は図のとおりである。図のように長さが埋まるので，QBの長さは (60°定規)。
QB：BE=3：1よりPQ：DC=4：1となるからPQ=4m
②△QBCと△QEFの相似比は3：4だから，面積比は9：16→台形BEFC=7 の面積となる。
よって3×3√3×1/2×7/9=7√3/2 (m2)
(3)図のようにAFとDCを延長させて交点をPとする。
AB=4，BF=3だから，AF=5となり，3：4：5の直角三角形ができる。
△FCPも3：4：5だからCP=4/3であるから，AE：DP=AG：PG=3：4+4/3=9：16。
△ADPも3：4：5の三角形だから，AP=4×5/3=20/3。よって，AG=20/3×9/25=12/5
②△ABFを基準とすると，
△GBF=△ABF×GF/AF
△AEF=△ABF×3/4×GF/AFであるから，
△GBFは△AEFの4/3倍である。
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by ColImpago (2018-04-17 07:15)