平成23年度・岡山県(数学)高校入試問題 [平成23年度(2011年)・数学]
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http://kenjukuren.moo.jp/QandA.htm
■■まとめ■■
問題がごちゃごちゃして，長い文章なのですが，読み解くとあっさり解ける問題が多かったです。[2][3][4]は図形の要素はあるものの，ほとんどが方程式を解くような問題ばかりで，出題がかなり偏っています。空間図形が1つもありませんでした。
■■解説■■
クリックすると大きくなります。参考にしてください。
■■ポイント■■
[1]計算と小問集合。
①～⑤計算すればよい。
⑥2(x+3)=(x－1)2 →2x+6=x2－2x+1→x2－4x－5=0 →(x－5)(x+1)=0。
よって，負の解はx=－1
⑦1次関数の公式に代入して，y=2(x－1)－3 → y=2x－5
⑧全部の場合の数は36通り。そのうち，目の積が奇数になるのは，(3，5)，(5，3)，(5，5)のみ。
⑨△BDCはBDが直径なので直角三角形である。円周角の定理より∠D=36°だから，∠B=54°
⑩ABの中点を作図するには，ABの垂直二等分線の作図をすればよい。
[2]方程式の問題
①全部で60ページだから，60－38－8=14ページ
②A～D班をxページとすると，E，F班はx+1ページになるので，4x+2(x+1)=14。
これを解くと，x=2。
[3]範囲が決まった関数。問題をよく読んで，条件を的確に当てはめること。
①絵里さんは，20枚のレポートだから，
12+6×20=132g。グラフを見るとア200円。また，240円で送るには，合計250g以下であれ
ばよいので，x枚のレポートを書いたとすると，12+6×x=250。x=39.… よってイ39枚
②条件Iより，絵里さんは200円だったから，一番少ないレポートの枚数（yとする）の場合，
12+6×y=100。→y=14.… となるので，最小は15枚のときである。また，最大は①で求め
た通り，合計39枚までだから，エ19枚までのとき，240円で送ることができる。
[4]周囲の長さによって面積がどう変わるか，という話。問題文が長いが，問題は簡単である。
①周の長さが12cmのとき，正六角形の1辺の長さはア2cm。正六角形の面積は図のように正三
角形6つ分と考える。1辺2の正三角形6枚分→√3/4 ×4×6=6√3
②[II]の証明は[I]と同様にやればよい。
9^2=81，(6√3)^2 で，81<108だから，9<6√3。
したがって，正方形の面積より，正六角形の面積が大きい。
③②より，面積が等しければ，正六角形の周の長さが一番短いことがわかる。するとハニカム
構造では，材料を少なくすることができる。
[5]同じ図の中で正多角形がいくつかある場合は，合同な図形ができやすいという問題。
①△APCと△BDCにおいて，
AC=BC（正三角形）…①
PC=DC（正三角形）…②
ここで，
∠ACP=60°－∠PCB
∠BCD=60°－∠PCB だから，
∠ACP=∠BCD…③
①，②，③より，2辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△APC≡△BDC (証明終)
②PB^2+PC^2=PA^2のとき，
①よりPC=PD(イ)，PA=DB(ア)であるから，代入すると，PB2+PD2=DB2(ウ)となる。
よって△PBDで三平方の定理の逆が成り立つので，∠BPD=90°である。
③PB=PC=2のとき，△PBCが二等辺三角形になることに気づくと速い。
まず，PB^2+PC^2=PA^2より，PA=2√2。
△PBCは二等辺三角形であり，∠BPC=150°だから∠PCB=15°。
よって，∠BCD=60－15=45°。BCの長さは，△CHDは45°定規で，CH=HD=√2 ，また，
BD=2√2 だから，△BHDは30°定規となり，BH=√6。
よって，BC=√2+√6EQ+QP+PC=(4-√3)+2×2√3=4+3√3
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問題がごちゃごちゃして，長い文章なのですが，読み解くとあっさり解ける問題が多かったです。[2][3][4]は図形の要素はあるものの，ほとんどが方程式を解くような問題ばかりで，出題がかなり偏っています。空間図形が1つもありませんでした。
■■解説■■
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■■ポイント■■
[1]計算と小問集合。
①～⑤計算すればよい。
⑥2(x+3)=(x－1)2 →2x+6=x2－2x+1→x2－4x－5=0 →(x－5)(x+1)=0。
よって，負の解はx=－1
⑦1次関数の公式に代入して，y=2(x－1)－3 → y=2x－5
⑧全部の場合の数は36通り。そのうち，目の積が奇数になるのは，(3，5)，(5，3)，(5，5)のみ。
⑨△BDCはBDが直径なので直角三角形である。円周角の定理より∠D=36°だから，∠B=54°
⑩ABの中点を作図するには，ABの垂直二等分線の作図をすればよい。
[2]方程式の問題
①全部で60ページだから，60－38－8=14ページ
②A～D班をxページとすると，E，F班はx+1ページになるので，4x+2(x+1)=14。
これを解くと，x=2。
[3]範囲が決まった関数。問題をよく読んで，条件を的確に当てはめること。
①絵里さんは，20枚のレポートだから，
12+6×20=132g。グラフを見るとア200円。また，240円で送るには，合計250g以下であれ
ばよいので，x枚のレポートを書いたとすると，12+6×x=250。x=39.… よってイ39枚
②条件Iより，絵里さんは200円だったから，一番少ないレポートの枚数（yとする）の場合，
12+6×y=100。→y=14.… となるので，最小は15枚のときである。また，最大は①で求め
た通り，合計39枚までだから，エ19枚までのとき，240円で送ることができる。
[4]周囲の長さによって面積がどう変わるか，という話。問題文が長いが，問題は簡単である。
①周の長さが12cmのとき，正六角形の1辺の長さはア2cm。正六角形の面積は図のように正三
角形6つ分と考える。1辺2の正三角形6枚分→√3/4 ×4×6=6√3
②[II]の証明は[I]と同様にやればよい。
9^2=81，(6√3)^2 で，81<108だから，9<6√3。
したがって，正方形の面積より，正六角形の面積が大きい。
③②より，面積が等しければ，正六角形の周の長さが一番短いことがわかる。するとハニカム
構造では，材料を少なくすることができる。
[5]同じ図の中で正多角形がいくつかある場合は，合同な図形ができやすいという問題。
①△APCと△BDCにおいて，
AC=BC（正三角形）…①
PC=DC（正三角形）…②
ここで，
∠ACP=60°－∠PCB
∠BCD=60°－∠PCB だから，
∠ACP=∠BCD…③
①，②，③より，2辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△APC≡△BDC (証明終)
②PB^2+PC^2=PA^2のとき，
①よりPC=PD(イ)，PA=DB(ア)であるから，代入すると，PB2+PD2=DB2(ウ)となる。
よって△PBDで三平方の定理の逆が成り立つので，∠BPD=90°である。
③PB=PC=2のとき，△PBCが二等辺三角形になることに気づくと速い。
まず，PB^2+PC^2=PA^2より，PA=2√2。
△PBCは二等辺三角形であり，∠BPC=150°だから∠PCB=15°。
よって，∠BCD=60－15=45°。BCの長さは，△CHDは45°定規で，CH=HD=√2 ，また，
BD=2√2 だから，△BHDは30°定規となり，BH=√6。
よって，BC=√2+√6EQ+QP+PC=(4-√3)+2×2√3=4+3√3
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