平成22年度・東京都(数学)高校入試問題 [平成22年度(2010年)・数学]
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http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/index.html
■■まとめ■■
標準的な問題です。問題の難易がはっきりしています。
解ける問題から考えていきましょう。
★★つきは3つ。
●[3](3)関数の面積の求め方。たて×横の考え方を使えるか。
●[4](2)②比あわせの考え方を経験したことがあるか。
●[5](2)実は[3](3)と考え方は同じ。立体になっているだけの問題。
■■ポイント■■
[1]小問集合。
(1)正負の計算。問題ない。
(2)１次式の文字式の計算。これも問題ない。
(3)平方根の計算。乗法公式を使う。
(4)１次方程式を解く。問題ない。
(5)下式をx=7－5yとして代入法でも，加減法でもよい。
(6)(x+2)2=36 → x+2=±6 → x=－2±6 = 4，－8
(7)bがaの倍数となる場合，aから考えると，
1の倍数→b=1～6 2の倍数→b=2，4，6 3の倍数→b=3，6。
4の倍数→b=4 5の倍数→b=5。 6の倍数→b=6 合計14通り。
(8)△AEOの外角で考える。
①∠DABは半円の弧の円周角の で15°
②∠AOCは120°であるから，合計135°
(9)AP=BPのとき，点Pは線分ABの垂直二等分線の上にある。
この作図をすればよい。
[2]面を動かすと立体になる，という考え方の問題。
(1)P=a^2 hである。面積と高さを掛ければよい。
(2)体積を求める式を作ればよい。
この立体を底面積×高さ，という式を使って求めると，
AD=aであるから，
V=a×a×π×a=πa^3となる。…①
ここで，lを求めると，lは直径aの円周の長さに等しいので，l=πa…②
②を①に代入すると，V=a^2lとなる。
[3]関数であるが1次関数のみ。面積の求め方は頻出のパターンなので覚えておく。
(1)点Pが直線l上にあるので，座標を代入する。
(2)mの傾きが のとき直線mの式は よって，これを直線lと連立させる。
★★(3)関数で面積を求める方法は，次のような方法を使うことを覚えよう。
△ARQの面積をPRで2つに分ける。すると，△APRと△PRQの和となる。
この2つの三角形の高さの和は14であるから，PR×14÷2=49。
これを解くと，PR=7(cm)となる。
[4]平面図形の相似の問題。最後の比あわせを今まで経験したことがあるかどうか。
(1)∠BAP=a°。∠BPA=a°よって，∠ABP=180－2a
である。よって，∠PBC=90－(180－2a)=2a－90(度)
(2)①証明は簡単にこなしたいところ。
△ABQと△CPQで
AB//CP(長方形の性質)であるから
∠ABQ=∠CPQ(平行線の錯角)…①
また∠AQB=∠CQP(対頂角)…②
①・②より2角がそれぞれ等しいので，△ABQ∽△CPQ
②CRの延長とABの交点をSとする。
AP//CSであるから，四角形ASCPは平行四辺形になり，AS：SB=2：1
△SBR∽△CPRからBR：RP=1：2=5：10
△ABQ∽△CPQから，BQ：QP=3：2=9：6となる。
よって，BR：RQ：QP=5：4：6となる。(比あわせをした)
以上より，QRはBPの 4/15倍である。
[5]立体の見方。(2)は経験がないと難しいだろう。
(1)△PFHは正三角形になることは問題ないだろう。60°
(2)先ほどの関数で面積を求めた問題に考え方は似ている。この立体を面DBFHで切ったときの
面を底面として，体積を求めればよいのである。
つまり，△RHFを底面として，左側の三角すい
と右側の三角すいの和と考えるが，その三角す
いの高さの和は6√2である。△PHFの高さは，
EPとCGの平均で，4.5
△PHFの面積は6√2×4.5×1/2
この立体の高さは6√2であるから，
6√2×4.5×1/2×6√2×1/3= 54(cm3)
※最後にこれはすい体なので1/3していることに注意!!
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■■まとめ■■
標準的な問題です。問題の難易がはっきりしています。
解ける問題から考えていきましょう。
★★つきは3つ。
●[3](3)関数の面積の求め方。たて×横の考え方を使えるか。
●[4](2)②比あわせの考え方を経験したことがあるか。
●[5](2)実は[3](3)と考え方は同じ。立体になっているだけの問題。
■■ポイント■■
[1]小問集合。
(1)正負の計算。問題ない。
(2)１次式の文字式の計算。これも問題ない。
(3)平方根の計算。乗法公式を使う。
(4)１次方程式を解く。問題ない。
(5)下式をx=7－5yとして代入法でも，加減法でもよい。
(6)(x+2)2=36 → x+2=±6 → x=－2±6 = 4，－8
(7)bがaの倍数となる場合，aから考えると，
1の倍数→b=1～6 2の倍数→b=2，4，6 3の倍数→b=3，6。
4の倍数→b=4 5の倍数→b=5。 6の倍数→b=6 合計14通り。
(8)△AEOの外角で考える。
①∠DABは半円の弧の円周角の で15°
②∠AOCは120°であるから，合計135°
(9)AP=BPのとき，点Pは線分ABの垂直二等分線の上にある。
この作図をすればよい。
[2]面を動かすと立体になる，という考え方の問題。
(1)P=a^2 hである。面積と高さを掛ければよい。
(2)体積を求める式を作ればよい。
この立体を底面積×高さ，という式を使って求めると，
AD=aであるから，
V=a×a×π×a=πa^3となる。…①
ここで，lを求めると，lは直径aの円周の長さに等しいので，l=πa…②
②を①に代入すると，V=a^2lとなる。
[3]関数であるが1次関数のみ。面積の求め方は頻出のパターンなので覚えておく。
(1)点Pが直線l上にあるので，座標を代入する。
(2)mの傾きが のとき直線mの式は よって，これを直線lと連立させる。
★★(3)関数で面積を求める方法は，次のような方法を使うことを覚えよう。
△ARQの面積をPRで2つに分ける。すると，△APRと△PRQの和となる。
この2つの三角形の高さの和は14であるから，PR×14÷2=49。
これを解くと，PR=7(cm)となる。
[4]平面図形の相似の問題。最後の比あわせを今まで経験したことがあるかどうか。
(1)∠BAP=a°。∠BPA=a°よって，∠ABP=180－2a
である。よって，∠PBC=90－(180－2a)=2a－90(度)
(2)①証明は簡単にこなしたいところ。
△ABQと△CPQで
AB//CP(長方形の性質)であるから
∠ABQ=∠CPQ(平行線の錯角)…①
また∠AQB=∠CQP(対頂角)…②
①・②より2角がそれぞれ等しいので，△ABQ∽△CPQ
②CRの延長とABの交点をSとする。
AP//CSであるから，四角形ASCPは平行四辺形になり，AS：SB=2：1
△SBR∽△CPRからBR：RP=1：2=5：10
△ABQ∽△CPQから，BQ：QP=3：2=9：6となる。
よって，BR：RQ：QP=5：4：6となる。(比あわせをした)
以上より，QRはBPの 4/15倍である。
[5]立体の見方。(2)は経験がないと難しいだろう。
(1)△PFHは正三角形になることは問題ないだろう。60°
(2)先ほどの関数で面積を求めた問題に考え方は似ている。この立体を面DBFHで切ったときの
面を底面として，体積を求めればよいのである。
つまり，△RHFを底面として，左側の三角すい
と右側の三角すいの和と考えるが，その三角す
いの高さの和は6√2である。△PHFの高さは，
EPとCGの平均で，4.5
△PHFの面積は6√2×4.5×1/2
この立体の高さは6√2であるから，
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※最後にこれはすい体なので1/3していることに注意!!
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