平成23年度・高知県後期(数学応用)高校入試問題 [平成23年度(2011年)・数学]
平成23年度・高知県後期(数学応用)高校入試問題のダウンロードはこちらから
http://www.pref.kochi.lg.jp/soshiki/311701/mondai.html
■■まとめ■■
基礎問題と共通の問題も多いです。基本的な問題が並んでいます。
[4]の最後が考えにくいでしょう。4つ全て見つけるのはちょっと難しいかと思います。
■■解説■■
クリックすると大きくなります。参考にしてください。
■■ポイント■■
[1]計算問題。
(1)5×(－3)2－23=45－8=37
(2)分数の計算
(3)文字式の計算。
(4)(x+2y)2－(x－2y)2=x2+4xy+4y2－x2+4xy－4y2=8xy
(5)√が消える計算。
[2]小問集合
(1)-50/7は-7.1…，13/8=1.5…より，－7から1まで計9個
(2)等式変形は図参照
(3)連立方程式を作る。男子x人，女子y人として，
｛x+y=480
-2/100x + 5/100y=10 と変形。
これより，x=200人，(y=280人)
(4)y=ax^2で，x=－3のときy=2を代入すると，a=2/9。ここで，x=－2を代入する。
(5)ABを軸として回転させるとき，大きい円柱から内側にできた，円すいを引けばよい。
円柱：10×10×π×23=2300π
円すい：10×10×π×9×1/3=300π。よって2000π
(6)1000個中2個が不良品であったから，比を考えると，1000：2=x：30。
これより，x=15000個
[3]グラフを読みこなせばよい。
(1)傾きを求めると，24であり，(8，256)を通るので，直線の公式に代入して，
y=24(x－8)+256。→y=24x+64
(2)(1)でy=480を代入して，480=24x+64。24x=416→x=52/3→17分20秒
(3)A，B同時に入れるときは，毎分32lずつ入る。
よって，640l入れるには640÷32=20分かかる。
[4]丁寧に図を書けばよい。(3)はちょっと難しいか。
(1)1回目3，2回目5のとき，図のようになる。
(2)一直線上に並ぶときは，線分AB上にいるときしかない。
P=1のとき(1，1)(1，2)(1，3)
P=2のとき(2，1)(2，2)
P=3のとき(3，1)。合計6通り
(3)P=3のときまでは，面積が4になることはない。
P=4のときQ=2，P=5のときQ=2，
P=6のときQ=6，P=6のときQ=3，
答えは上記4通り。
※P=6，Q=6で，APに平行な線をQから引いたP=3，Q=3は見つけにくいかと思われる。
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基礎問題と共通の問題も多いです。基本的な問題が並んでいます。
[4]の最後が考えにくいでしょう。4つ全て見つけるのはちょっと難しいかと思います。
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■■ポイント■■
[1]計算問題。
(1)5×(－3)2－23=45－8=37
(2)分数の計算
(3)文字式の計算。
(4)(x+2y)2－(x－2y)2=x2+4xy+4y2－x2+4xy－4y2=8xy
(5)√が消える計算。
[2]小問集合
(1)-50/7は-7.1…，13/8=1.5…より，－7から1まで計9個
(2)等式変形は図参照
(3)連立方程式を作る。男子x人，女子y人として，
｛x+y=480
-2/100x + 5/100y=10 と変形。
これより，x=200人，(y=280人)
(4)y=ax^2で，x=－3のときy=2を代入すると，a=2/9。ここで，x=－2を代入する。
(5)ABを軸として回転させるとき，大きい円柱から内側にできた，円すいを引けばよい。
円柱：10×10×π×23=2300π
円すい：10×10×π×9×1/3=300π。よって2000π
(6)1000個中2個が不良品であったから，比を考えると，1000：2=x：30。
これより，x=15000個
[3]グラフを読みこなせばよい。
(1)傾きを求めると，24であり，(8，256)を通るので，直線の公式に代入して，
y=24(x－8)+256。→y=24x+64
(2)(1)でy=480を代入して，480=24x+64。24x=416→x=52/3→17分20秒
(3)A，B同時に入れるときは，毎分32lずつ入る。
よって，640l入れるには640÷32=20分かかる。
[4]丁寧に図を書けばよい。(3)はちょっと難しいか。
(1)1回目3，2回目5のとき，図のようになる。
(2)一直線上に並ぶときは，線分AB上にいるときしかない。
P=1のとき(1，1)(1，2)(1，3)
P=2のとき(2，1)(2，2)
P=3のとき(3，1)。合計6通り
(3)P=3のときまでは，面積が4になることはない。
P=4のときQ=2，P=5のときQ=2，
P=6のときQ=6，P=6のときQ=3，
答えは上記4通り。
※P=6，Q=6で，APに平行な線をQから引いたP=3，Q=3は見つけにくいかと思われる。
平成23年度・高知県後期(数学基礎)高校入試問題 [平成23年度(2011年)・数学]
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■■まとめ■■
特に難しい問題はありません。時間をよく見ながら完答を目指しましょう。
応用と同じ問題も多く含まれます。
■■解説■■
クリックすると大きくなります。参考にしてください。
■■ポイント■■
[1]計算問題。
(1)8－(－5)=13
(2)24÷(－3)=－8
(3)(－2)×4+12÷3=－8+4=－4
(4)分数の計算
(5)12a^3b÷2ab=6a^2
(6)(2a)^2÷6a^3×3a^2=4a^2÷6a^3×3a^2=2a
(7)(x+1)^2+x(x－2)=x^2+2x+1+x^2－2x=2x^2+1
(8)√の計算
[2]応用と同一問題。
[3](1)(2)は応用と同一問題。
[4](1)(2)は応用と同一問題。
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特に難しい問題はありません。時間をよく見ながら完答を目指しましょう。
応用と同じ問題も多く含まれます。
■■解説■■
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■■ポイント■■
[1]計算問題。
(1)8－(－5)=13
(2)24÷(－3)=－8
(3)(－2)×4+12÷3=－8+4=－4
(4)分数の計算
(5)12a^3b÷2ab=6a^2
(6)(2a)^2÷6a^3×3a^2=4a^2÷6a^3×3a^2=2a
(7)(x+1)^2+x(x－2)=x^2+2x+1+x^2－2x=2x^2+1
(8)√の計算
[2]応用と同一問題。
[3](1)(2)は応用と同一問題。
[4](1)(2)は応用と同一問題。
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http://kenjukuren.moo.jp/QandA.htm
■■まとめ■■
[1]～[3]までは比較的易しめでここは全問正解してほしいところではあります。[4][5]については，簡単な問題と考えにくい問題が混ざっていますが，問題自体は素直な問題が並んでいますので，しっかりと学習してきた生徒にとっては適切な問題だったでしょう。
■■解説■■
クリックすると大きくなります。参考にしてください。
■■ポイント■■
[1]計算と小問。
①複雑な式ではあるが，難しくはない。
②a^2－2a－8=(a－4)(a+2)と因数分解できるので，ここで代入する。
③この双曲線はx=1のとき，y=8とわかる。よって比例定数をaとして，xy=8。よってb=2。
④和が4の倍数となるとき，
1．和が4→(1，3)(2，2)(3，1)
2．和が8→(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)
3．和が12→(6，6)。よって9通り。
積が4の倍数になるときは，1つ目の数が1～6について丁寧に考える。
(1，4)，(2，2)(2，4)(2，6)，(3，4)，(4，1)～(4，6)の6通り，
(5，4)，(6，2)(6，4)(6，6)。よって15通り。
⑤正五角形に対角線を引いてできる角は，36°，72°，108°の3種類で，すべて36の倍数
である。∠CAD=36°
[2]連立方程式の問題。条件にしたがって式を作る。
男子x人，女子y人として，
｛x+y=108
7/10x+13/16y=108×3/4 →解いて x=60，y=48
[3]線分の中点は垂直二等分線を作図すればよい。中点をMとして，MAを半径とする円を書
き，垂直二等分線との交点をPとすれば，AP=BPの直角二等辺三角形が書ける。
[4]相似比と線分比の問題。
①AB=BE=1であるから，AE=√2
△ACFは底辺AC，高さABであるから，面積も求められる。
②△AEFと△CEAでは，∠Eが共通であることがわかり，あと角度が等しいことは言いにく
そうだ→ということは辺の比が等しい，という証明を考える。
(証明)△AEFと△CEAにおいて，
∠AEF=∠CEA(共通)
EF=1，AE=√2，CE=2だから，
FE：AE=AE：CE=1：√2
これより，2辺の比とはさむ角がそれぞれ等しいので，
△AEF∽△CEA
③相似を見つける。
△ADG∽△CEGより，AG：GC=3：2。よってAGはCGの3/2倍
また，△ADH∽△FEHより，AH：FH=3：1。よってAHはFHの3倍
④まずは，EF：HG：GDを求める。
EH：HD=1：3，EG：GD=2：3であるから，比合わせをすると，EH：HG：GD=5：3：12。
△AGHと△DGCが等角三角形(∠Gが同じ大きさ)であるから，△AGH：△DGC=AG×GH：GC×DG
=3×3：2×12=3：8
[5]2次関数の問題。
①A(－2，－2)，B(3，-9/2) であるから，公式に代入して
傾き：-1/2×(－2+3)，切片：-(-1/2)×(－2)×+3=-3。
②このような点を格子点というが，格子点を求める問題の時は，x座標を先に決めて，y座標が
いくつあるか決めていく。
x=－2 → y=－2のみの1点
x=－1 → y=－0.5～－2.5の2点
x=0 → y=0～－3の4点
x=1 → y=－0.5～－3.5の3点
x=2 → y=－2～－4の3点
x=3のときはない。 よって13個
③直線ABの傾きが-1/2であるから，直線OPの傾きは2。
よって△OCDや△ODPは，1：2：√5の辺の比を持つ。
OD=3であるから，OP=3×2/√5 = 6√5/5
④PCとPBのうち長いほうが体積が大きくなるが，OCとOBのうちの長い方が，PCやPBが長くなる。
計算するとOC>OB。
よって，△OPCを回転させた方が体積が大きくなる。
PC=12/√5 に注意して，
V=(12/√5)^2×π×6/√5×1/3 という計算になる。
http://kenjukuren.moo.jp/QandA.htm
■■まとめ■■
[1]～[3]までは比較的易しめでここは全問正解してほしいところではあります。[4][5]については，簡単な問題と考えにくい問題が混ざっていますが，問題自体は素直な問題が並んでいますので，しっかりと学習してきた生徒にとっては適切な問題だったでしょう。
■■解説■■
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■■ポイント■■
[1]計算と小問。
①複雑な式ではあるが，難しくはない。
②a^2－2a－8=(a－4)(a+2)と因数分解できるので，ここで代入する。
③この双曲線はx=1のとき，y=8とわかる。よって比例定数をaとして，xy=8。よってb=2。
④和が4の倍数となるとき，
1．和が4→(1，3)(2，2)(3，1)
2．和が8→(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)
3．和が12→(6，6)。よって9通り。
積が4の倍数になるときは，1つ目の数が1～6について丁寧に考える。
(1，4)，(2，2)(2，4)(2，6)，(3，4)，(4，1)～(4，6)の6通り，
(5，4)，(6，2)(6，4)(6，6)。よって15通り。
⑤正五角形に対角線を引いてできる角は，36°，72°，108°の3種類で，すべて36の倍数
である。∠CAD=36°
[2]連立方程式の問題。条件にしたがって式を作る。
男子x人，女子y人として，
｛x+y=108
7/10x+13/16y=108×3/4 →解いて x=60，y=48
[3]線分の中点は垂直二等分線を作図すればよい。中点をMとして，MAを半径とする円を書
き，垂直二等分線との交点をPとすれば，AP=BPの直角二等辺三角形が書ける。
[4]相似比と線分比の問題。
①AB=BE=1であるから，AE=√2
△ACFは底辺AC，高さABであるから，面積も求められる。
②△AEFと△CEAでは，∠Eが共通であることがわかり，あと角度が等しいことは言いにく
そうだ→ということは辺の比が等しい，という証明を考える。
(証明)△AEFと△CEAにおいて，
∠AEF=∠CEA(共通)
EF=1，AE=√2，CE=2だから，
FE：AE=AE：CE=1：√2
これより，2辺の比とはさむ角がそれぞれ等しいので，
△AEF∽△CEA
③相似を見つける。
△ADG∽△CEGより，AG：GC=3：2。よってAGはCGの3/2倍
また，△ADH∽△FEHより，AH：FH=3：1。よってAHはFHの3倍
④まずは，EF：HG：GDを求める。
EH：HD=1：3，EG：GD=2：3であるから，比合わせをすると，EH：HG：GD=5：3：12。
△AGHと△DGCが等角三角形(∠Gが同じ大きさ)であるから，△AGH：△DGC=AG×GH：GC×DG
=3×3：2×12=3：8
[5]2次関数の問題。
①A(－2，－2)，B(3，-9/2) であるから，公式に代入して
傾き：-1/2×(－2+3)，切片：-(-1/2)×(－2)×+3=-3。
②このような点を格子点というが，格子点を求める問題の時は，x座標を先に決めて，y座標が
いくつあるか決めていく。
x=－2 → y=－2のみの1点
x=－1 → y=－0.5～－2.5の2点
x=0 → y=0～－3の4点
x=1 → y=－0.5～－3.5の3点
x=2 → y=－2～－4の3点
x=3のときはない。 よって13個
③直線ABの傾きが-1/2であるから，直線OPの傾きは2。
よって△OCDや△ODPは，1：2：√5の辺の比を持つ。
OD=3であるから，OP=3×2/√5 = 6√5/5
④PCとPBのうち長いほうが体積が大きくなるが，OCとOBのうちの長い方が，PCやPBが長くなる。
計算するとOC>OB。
よって，△OPCを回転させた方が体積が大きくなる。
PC=12/√5 に注意して，
V=(12/√5)^2×π×6/√5×1/3 という計算になる。
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■■まとめ■■
問題がごちゃごちゃして，長い文章なのですが，読み解くとあっさり解ける問題が多かったです。[2][3][4]は図形の要素はあるものの，ほとんどが方程式を解くような問題ばかりで，出題がかなり偏っています。空間図形が1つもありませんでした。
■■解説■■
クリックすると大きくなります。参考にしてください。
■■ポイント■■
[1]計算と小問集合。
①～⑤計算すればよい。
⑥2(x+3)=(x－1)2 →2x+6=x2－2x+1→x2－4x－5=0 →(x－5)(x+1)=0。
よって，負の解はx=－1
⑦1次関数の公式に代入して，y=2(x－1)－3 → y=2x－5
⑧全部の場合の数は36通り。そのうち，目の積が奇数になるのは，(3，5)，(5，3)，(5，5)のみ。
⑨△BDCはBDが直径なので直角三角形である。円周角の定理より∠D=36°だから，∠B=54°
⑩ABの中点を作図するには，ABの垂直二等分線の作図をすればよい。
[2]方程式の問題
①全部で60ページだから，60－38－8=14ページ
②A～D班をxページとすると，E，F班はx+1ページになるので，4x+2(x+1)=14。
これを解くと，x=2。
[3]範囲が決まった関数。問題をよく読んで，条件を的確に当てはめること。
①絵里さんは，20枚のレポートだから，
12+6×20=132g。グラフを見るとア200円。また，240円で送るには，合計250g以下であれ
ばよいので，x枚のレポートを書いたとすると，12+6×x=250。x=39.… よってイ39枚
②条件Iより，絵里さんは200円だったから，一番少ないレポートの枚数（yとする）の場合，
12+6×y=100。→y=14.… となるので，最小は15枚のときである。また，最大は①で求め
た通り，合計39枚までだから，エ19枚までのとき，240円で送ることができる。
[4]周囲の長さによって面積がどう変わるか，という話。問題文が長いが，問題は簡単である。
①周の長さが12cmのとき，正六角形の1辺の長さはア2cm。正六角形の面積は図のように正三
角形6つ分と考える。1辺2の正三角形6枚分→√3/4 ×4×6=6√3
②[II]の証明は[I]と同様にやればよい。
9^2=81，(6√3)^2 で，81<108だから，9<6√3。
したがって，正方形の面積より，正六角形の面積が大きい。
③②より，面積が等しければ，正六角形の周の長さが一番短いことがわかる。するとハニカム
構造では，材料を少なくすることができる。
[5]同じ図の中で正多角形がいくつかある場合は，合同な図形ができやすいという問題。
①△APCと△BDCにおいて，
AC=BC（正三角形）…①
PC=DC（正三角形）…②
ここで，
∠ACP=60°－∠PCB
∠BCD=60°－∠PCB だから，
∠ACP=∠BCD…③
①，②，③より，2辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△APC≡△BDC (証明終)
②PB^2+PC^2=PA^2のとき，
①よりPC=PD(イ)，PA=DB(ア)であるから，代入すると，PB2+PD2=DB2(ウ)となる。
よって△PBDで三平方の定理の逆が成り立つので，∠BPD=90°である。
③PB=PC=2のとき，△PBCが二等辺三角形になることに気づくと速い。
まず，PB^2+PC^2=PA^2より，PA=2√2。
△PBCは二等辺三角形であり，∠BPC=150°だから∠PCB=15°。
よって，∠BCD=60－15=45°。BCの長さは，△CHDは45°定規で，CH=HD=√2 ，また，
BD=2√2 だから，△BHDは30°定規となり，BH=√6。
よって，BC=√2+√6EQ+QP+PC=(4-√3)+2×2√3=4+3√3
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問題がごちゃごちゃして，長い文章なのですが，読み解くとあっさり解ける問題が多かったです。[2][3][4]は図形の要素はあるものの，ほとんどが方程式を解くような問題ばかりで，出題がかなり偏っています。空間図形が1つもありませんでした。
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■■ポイント■■
[1]計算と小問集合。
①～⑤計算すればよい。
⑥2(x+3)=(x－1)2 →2x+6=x2－2x+1→x2－4x－5=0 →(x－5)(x+1)=0。
よって，負の解はx=－1
⑦1次関数の公式に代入して，y=2(x－1)－3 → y=2x－5
⑧全部の場合の数は36通り。そのうち，目の積が奇数になるのは，(3，5)，(5，3)，(5，5)のみ。
⑨△BDCはBDが直径なので直角三角形である。円周角の定理より∠D=36°だから，∠B=54°
⑩ABの中点を作図するには，ABの垂直二等分線の作図をすればよい。
[2]方程式の問題
①全部で60ページだから，60－38－8=14ページ
②A～D班をxページとすると，E，F班はx+1ページになるので，4x+2(x+1)=14。
これを解くと，x=2。
[3]範囲が決まった関数。問題をよく読んで，条件を的確に当てはめること。
①絵里さんは，20枚のレポートだから，
12+6×20=132g。グラフを見るとア200円。また，240円で送るには，合計250g以下であれ
ばよいので，x枚のレポートを書いたとすると，12+6×x=250。x=39.… よってイ39枚
②条件Iより，絵里さんは200円だったから，一番少ないレポートの枚数（yとする）の場合，
12+6×y=100。→y=14.… となるので，最小は15枚のときである。また，最大は①で求め
た通り，合計39枚までだから，エ19枚までのとき，240円で送ることができる。
[4]周囲の長さによって面積がどう変わるか，という話。問題文が長いが，問題は簡単である。
①周の長さが12cmのとき，正六角形の1辺の長さはア2cm。正六角形の面積は図のように正三
角形6つ分と考える。1辺2の正三角形6枚分→√3/4 ×4×6=6√3
②[II]の証明は[I]と同様にやればよい。
9^2=81，(6√3)^2 で，81<108だから，9<6√3。
したがって，正方形の面積より，正六角形の面積が大きい。
③②より，面積が等しければ，正六角形の周の長さが一番短いことがわかる。するとハニカム
構造では，材料を少なくすることができる。
[5]同じ図の中で正多角形がいくつかある場合は，合同な図形ができやすいという問題。
①△APCと△BDCにおいて，
AC=BC（正三角形）…①
PC=DC（正三角形）…②
ここで，
∠ACP=60°－∠PCB
∠BCD=60°－∠PCB だから，
∠ACP=∠BCD…③
①，②，③より，2辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△APC≡△BDC (証明終)
②PB^2+PC^2=PA^2のとき，
①よりPC=PD(イ)，PA=DB(ア)であるから，代入すると，PB2+PD2=DB2(ウ)となる。
よって△PBDで三平方の定理の逆が成り立つので，∠BPD=90°である。
③PB=PC=2のとき，△PBCが二等辺三角形になることに気づくと速い。
まず，PB^2+PC^2=PA^2より，PA=2√2。
△PBCは二等辺三角形であり，∠BPC=150°だから∠PCB=15°。
よって，∠BCD=60－15=45°。BCの長さは，△CHDは45°定規で，CH=HD=√2 ，また，
BD=2√2 だから，△BHDは30°定規となり，BH=√6。
よって，BC=√2+√6EQ+QP+PC=(4-√3)+2×2√3=4+3√3
